Use este identificador para citar ou linkar para este item: http://repositorio.ufes.br/handle/10/7410
Título: A conjectura de Euler sobre somas de potências quárticas de números inteiros
Autor(es): Lopes, Gislayni Telles Vieira Santana
Orientador: Oliveira, José Gilvan de
Data do documento: 11-Jul-2017
Editor: Universidade Federal do Espírito Santo
Resumo: Em 1772, Leonard Euler conjecturou que a soma de n potˆencias de n´umeros inteiros positivos de um dado expoente n tamb´em seria uma tal potˆencia. Contudo, se o n´umero de potˆencias nessa soma fosse inferior ao expoente, ent˜ao tal soma n˜ao poderia resultar em uma potˆencia de expoente n. No presente trabalho vamos nos concentrar no caso n = 4 da Conjectura de Euler. Numa primeira abordagem, vamos apresentar um contraexemplo para a conjectura, ou seja, vamos exibir solu¸c˜ao inteira positiva para a equa¸c˜ao diofantina a 4 + b 4 + c 4 = e 4 , que ´e equivalente a verificar que o conjunto dos pontos racionais da superf´ıcie S1 : r 4 + s 4 + t 4 = 1 ´e n˜ao vazio. Usaremos a teoria de curvas el´ıpticas e conceitos da Teoria dos N´umeros, como a reciprocidade quadr´atica e o teorema de Legendre, na constru¸c˜ao de um m´etodo para obter o contraexemplo. Em uma segunda abordagem, usaremos a estrutura de grupo de uma curva el´ıptica para mostrar que existe uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras positivas para a equa¸c˜ao diofantina acima, se acrescentarmos uma quarta potˆencia de um n´umero inteiro nessa soma.
In 1772, Leonard Euler conjectured that the sum of n powers of positive integers of a given exponent n would also be such a power. However, if the number of powers in this sum is less than the exponent, then such sum could not result in an exponent power n. In the present work we will focus on the n = 4 case of the Euler’s conjecture. In a first approach, we will present a counterexample to the conjecture, that is, we will display positive whole solution for the diophantine equation a 4 +b 4 +c 4 = e 4 , which is equivalent to verify that the set of rational points of the surface S1 : r 4 + s 4 + t 4 = 1 is not empty. We will use the theory of elliptic curves and concepts of Number Theory, such as quadratic reciprocity and Legendre’s theorem, in the construction of a method to obtain the counterexample. In a second approach, we will use the group structure of an elliptic curve to show that there is an infinity of positive integer solutions for the above Diophantine equation if we add a quartic power of an integer in that sum.
URI: http://repositorio.ufes.br/handle/10/7410
Aparece nas coleções:PPGMAT - Dissertações de mestrado

Arquivos associados a este item:
Arquivo TamanhoFormato 
tese_10701_Dissertação Gislayni Lopes.pdf404.56 kBAdobe PDFVisualizar/Abrir


Os itens no repositório estão protegidos por copyright, com todos os direitos reservados, salvo quando é indicado o contrário.