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Título:	Formas modulares e o problema dos números congruentes
Autor(es):	Reis, Alexandre Silva dos
Orientador:	Oliveira, José Gilvan de
Palavras-chave:	Números congruentes Reticulados complexos Formas modulares
Data do documento:	29-Out-2015
Editor:	Universidade Federal do Espírito Santo
Resumo:	Reticulados complexos, toros complexos e curvas el´ıpticas s˜ao objetos que embora possuindo natureza e estruturas distintas, s˜ao equivalentes de alguma forma. E poss´ıvel por meio de um ´ reticulado complexo obter um toro complexo e da´ı, obter uma curva el´ıptica. Al´em disso esse “caminho” pode ser percorrido tamb´em de maneira inversa. Essa conex˜ao ser´a o principal objeto de estudo nesse trabalho, que tamb´em abordar´a de maneira criteriosa alguns assuntos relacionados, tais como o grupo linear especial, formas modulares e curvas modulares. Ao final, como aplica¸c˜ao dos conceitos e ferramentas estudadas, ser´a considerado o problema dos n´umeros congruentes, que al´em de estar estreitamente relacionado com as curvas el´ıpticas, possui rela¸c˜ao com a famosa Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, esse que ´e um dos Problemas do Milˆenio. Complex lattices, complex tori and elliptic curves are objects that although having different structures and nature, are equivalent. It is possible by means of a complex lattice to obtain a complex torus and hence, to obtain an elliptic curve; and that “path”’ can also be done in reverse. This connection will be the main object of study in this work, which will also address a careful manner some issues related to it, such as the special linear group, modular forms and modular curves. Finally, as an application of the concepts and tools studied, the congruent numbers problem is considered. This problem besides being closely related to elliptic curves, has a relationship with the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, one of the Millennium Problems.
URI:	http://repositorio.ufes.br/handle/10/7509
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